Dimensión fractal del Conjunto de Mandelbrot

Para la mayoría de científicos actuales el fractal más conocido y más importante es este y para todos ellos se trata sin duda del objeto con mayor complejidad. Resulta asombroso observar su complejidad infinita, que es en cierta forma indescriptible. Para este fractal no importa el número de veces que aumentemos la escala ni el número de veces que hagamos zoom porque siempre seguirá apareciendo figuras de complejidad infinita.
Además de esta infinita complejidad existe otro aspecto de gran curiosidad y es que este fractal se puede obtener a partir de un sencillo programa informático, es decir que la infinita complejidad surge de algo bastante sencillo. Los precedentes del conjunto de mandelbrot son las investigaciones realizadas durante la I Guerra Mundial por Pierre Gatou y Gaston Julia, como resultado de estas investigaciones se obtuvo elConjunto de Julia.
Posteriormente Mandelbrot a partir de un proceso bastante complicado consiguió componer una figura constituida por todos los conjuntos de Julia mediante una serie de funciones trigonométricas. En conclusión, el conjunto de Mandelbrot se obtiene a partir de números complejos que cumplen una determinada propiedad. Para cada número complejo se tiene que cumplir que sea igual a la raíz de menos uno, de la forma siguiente: 2 + 3i. Y para comenzar se toma un número aleatorio P y se calcula su cuadrado, a este número obtenido se suma P y entonces se vuelve a elevar al cuadrado y así se continua infinitamente con dicho proceso: z = z2 + P.

¿Qué es un Fractal?

El matemático francés Benoît Mandelbrot desarrolló, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (“quebrado”). El término pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE).

Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos. Su principal propiedad es que su aspecto y distribución estadística no varía de acuerdo a la escala con que se observe.

Los fractales son, por lo tanto, objetos semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar tres tipos diferentes de autosimilitud (las partes tienen la misma estructura que el todo): la autosimilitud exacta (el fractal resulta idéntico a cualquier escala), la cuasiautosimilitud (con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas) y la autosimilitud estadística (el fractal debe tener medidas numéricas o estadísticas que se conserven con el cambio de escala).

Las técnicas fractales se utilizan, por ejemplo, para la comprensión de datos. A través del teorema del collage, es posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que incluye las transformaciones que lleva una figura completa en cada una de sus partes autosemejantes. Al quedar la información codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.

Etimología de la palabra Fractal :

El matemático francés Benoit Mandelbrot acuñó la palabra fractal en la década de los '70, derivándola del adjetivo latín fractus. El correspondiente verbo latino: frangere, significa romper, crear fragmentos irregulares.