El caso irreducible y los números complejos:

Hemos visto que cuando aplicamos las reglas de Tartaglia, aparecían por parejas raíces cuadradas de radicandos negativos sin interpretación real, no obstante esta dificultad la salvará, para casos particulares, otro matemático italiano del siglo; Rafael Bombelli, con su álgebra de 1572. Esta obra es la última de los algebristas italianos del siglo XVI y es importante no sólo por las innovaciones, algunas patentes y otras latentes, sino también porque mide el progreso que se va realizando en el proceso de resolución del imperialismo geométrico de la ciencia griega, reflejado en la absorción de la geometría por el álgebra, que en cierto momento sera casi total.

La novedad más importante que introduce Bombelli en su álgebra es el tratamiento de los números complejos y de sus operaciones. Mientras que en su manuscrito aparecen los números imaginarios como raíces cuadradas de números negativos, en el texto, de mas de veinte años después, utiliza un simbolismo en el libro impreso: " he encontrado otra especie de raíces ligadas ( se refiere a las raíces cubicas de irracionales cuadráticos) que se presentan en la ecuación de cubo igual a tantos y números (despues de haber leido a Diofanto, Bombelli utiliza la expresión "tantos" en lugar de "cosas"), cuando el cubo de la tercera parte de los tantos es mayor que el cuadrado de la mitad del numero (es nuestro caso irreducible) y esas especie de raíz cuadrada tiene en el algoritmo otro nombre y otras operaciones. Como en este caso esa parte no puede llamarse ni mas ni menos, la llamaré más de menos cuando deba agregarse y menos de menos cuando ha de restarse...que ha muchas personas ha de parecer más sofístico que real, como supuse yo también hasta que encontré su demostración geométrica..." Expone luego correctamente las operaciones con los símbolos p d m y m d m .

Es claro entonces que su mayor contribución a la teoría de ecuaciones será la resolución, mediante su algoritmo como intermediario, del caso irreducible de la ecuación cúbica.