En su obra se encuentran interesantes contribuciones a las ecuaciones bicuadradas, a la teoría de los números y al paso progresivo del álgebra geométrica a la geometría analítica.

Rafael Bombelli.

Rafael Bombelli nació en enero de 1526 en Bolonia (Italia). Era uno de los seis hijos de Antonio Mazzoli que cambió su apellido por el de Bombelli. La familia Mazzoli era una noble y rica familia a la que le habían sido confiscadas todas sus propiedades, debido al apoyo que había dado a la familia Bentivoglio en sus disputas con el Papa Julio II. Fue Antonio, padre de Rafael, el que logró recuperar sus propiedades y pudo volver a Bolonia.

Rafael Bombelli no recibió una educación universitaria, sino que adquirió su formación con el ingeniero y arquitecto Pier Francesco Clementi. El propio Bombelli eligió la profesión de ingeniero y arquitecto, trabajando para Rufini, un noble romano que llegaría a obispo de Melfi. No se sabe exactamente como adquirió Bombelli su interés por las matemáticas, probablemente el motivo fue que vivía en la región de Italia donde se desarrollaban los desafíos matemáticos entre Cardano , Tartaglia y otros , con el fin de resolver ecuaciones.

Su patrón Alejandro Rufini le encargó un proyecto para desecar las marismas del valle de Chiana. Aunque este trabajo no llegó a terminarse, Bombelli con su proyecto adquirió una gran reputación en ingeniería hidráulica. En 1561 Bombelli va a Roma a reparar el puente de Santa María sobre el Tíber. A pesar del fracaso del puente su fama como ingeniero no sufrió ninguna merma.

En una de sus visitas a Roma , Bombelli hizo una gran descubrimiento matemático. Antonio María Pazzi, profesor de matemáticas en la universidad de Roma, le enseñó a Bombelli un manuscrito de la Aritmética de Diofanto y los dos decidieron hacer conjuntamente una traducción del mismo. A pesar de que nunca llegaron a completar la traducción, Bombelli, a la luz del texto de Diofanto comenzó a revisar sus conocimientos de álgebra. De hecho, en su libro III, 143 de los 272 problemas que aparecen son originales de Diofanto, hecho que el propio Bombelli reconocía.

La obra de Bombelli titulada "Álgebra" está dividida en cinco libros. Los tres primeros fueron publicados en 1572, y anunciaba que los libros IV y V , dedicados a la geometría, aparecerían seguidamente. Desgraciadamente Bombelli nunca llegó a publicar estos volúmenes porque la muerte se lo impidió. Murió en 1573, probablemente en Roma. En 1923, un manuscrito de Bombelli fue descubierto en una biblioteca de Bolonia. Además de una versión manuscrita de los tres libros ya publicados, había un manuscrito inconcluso de los otros dos libros. La geometría incompleta de Bombelli fue publicada en 1929, y en ella se aprecia una influencia de los procedimientos geométricos de Omar Khayyam.

En el Álgebra de Bombelli se dan las reglas de los signos, que aún hoy dan tantos problemas a los estudiantes, para operar con números positivos y negativos. Además fue el primero que escribió las reglas para la suma, resta y multiplicación de los números complejos. Además demostró que usando el cálculo de los números complejos podían resolverse ecuaciones. Bombelli usó una notación muy sofisticada para su tiempo. Es justo reconocer a Bombelli como el inventor de los números complejos y su Algebra tuvo una influencia capital en Leibniz.

Bombelli, un ingeniero, hizo un uso práctico de los números complejos porque dichos números le daban resultados útiles. El Álgebra de Bombelli es uno de los más importantes trabajos matemáticos del siglo XVI, y fue el único que dio importancia a los números complejos cuándo aún nadie se la daba.

El caso irreducible y los números complejos:

Hemos visto que cuando aplicamos las reglas de Tartaglia, aparecían por parejas raíces cuadradas de radicandos negativos sin interpretación real, no obstante esta dificultad la salvará, para casos particulares, otro matemático italiano del siglo; Rafael Bombelli, con su álgebra de 1572. Esta obra es la última de los algebristas italianos del siglo XVI y es importante no sólo por las innovaciones, algunas patentes y otras latentes, sino también porque mide el progreso que se va realizando en el proceso de resolución del imperialismo geométrico de la ciencia griega, reflejado en la absorción de la geometría por el álgebra, que en cierto momento sera casi total.

La novedad más importante que introduce Bombelli en su álgebra es el tratamiento de los números complejos y de sus operaciones. Mientras que en su manuscrito aparecen los números imaginarios como raíces cuadradas de números negativos, en el texto, de mas de veinte años después, utiliza un simbolismo en el libro impreso: " he encontrado otra especie de raíces ligadas ( se refiere a las raíces cubicas de irracionales cuadráticos) que se presentan en la ecuación de cubo igual a tantos y números (despues de haber leido a Diofanto, Bombelli utiliza la expresión "tantos" en lugar de "cosas"), cuando el cubo de la tercera parte de los tantos es mayor que el cuadrado de la mitad del numero (es nuestro caso irreducible) y esas especie de raíz cuadrada tiene en el algoritmo otro nombre y otras operaciones. Como en este caso esa parte no puede llamarse ni mas ni menos, la llamaré más de menos cuando deba agregarse y menos de menos cuando ha de restarse...que ha muchas personas ha de parecer más sofístico que real, como supuse yo también hasta que encontré su demostración geométrica..." Expone luego correctamente las operaciones con los símbolos p d m y m d m .

Es claro entonces que su mayor contribución a la teoría de ecuaciones será la resolución, mediante su algoritmo como intermediario, del caso irreducible de la ecuación cúbica.

Dimensión fractal del Conjunto de Mandelbrot

Para la mayoría de científicos actuales el fractal más conocido y más importante es este y para todos ellos se trata sin duda del objeto con mayor complejidad. Resulta asombroso observar su complejidad infinita, que es en cierta forma indescriptible. Para este fractal no importa el número de veces que aumentemos la escala ni el número de veces que hagamos zoom porque siempre seguirá apareciendo figuras de complejidad infinita.
Además de esta infinita complejidad existe otro aspecto de gran curiosidad y es que este fractal se puede obtener a partir de un sencillo programa informático, es decir que la infinita complejidad surge de algo bastante sencillo. Los precedentes del conjunto de mandelbrot son las investigaciones realizadas durante la I Guerra Mundial por Pierre Gatou y Gaston Julia, como resultado de estas investigaciones se obtuvo elConjunto de Julia.
Posteriormente Mandelbrot a partir de un proceso bastante complicado consiguió componer una figura constituida por todos los conjuntos de Julia mediante una serie de funciones trigonométricas. En conclusión, el conjunto de Mandelbrot se obtiene a partir de números complejos que cumplen una determinada propiedad. Para cada número complejo se tiene que cumplir que sea igual a la raíz de menos uno, de la forma siguiente: 2 + 3i. Y para comenzar se toma un número aleatorio P y se calcula su cuadrado, a este número obtenido se suma P y entonces se vuelve a elevar al cuadrado y así se continua infinitamente con dicho proceso: z = z2 + P.

¿Qué es un Fractal?

El matemático francés Benoît Mandelbrot desarrolló, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (“quebrado”). El término pronto fue aceptado por la comunidad científica e incluso ya forma parte del diccionario de la Real Academia Española (RAE).

Un fractal es una figura plana o espacial que está compuesta por infinitos elementos. Su principal propiedad es que su aspecto y distribución estadística no varía de acuerdo a la escala con que se observe.

Los fractales son, por lo tanto, objetos semi geométricos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. El fractal puede ser creado por el hombre, incluso con intenciones artísticas, aunque también existen estructuras naturales que son fractales (como los copos de nieve).

De acuerdo a Mandelbrot, los fractales pueden presentar tres tipos diferentes de autosimilitud (las partes tienen la misma estructura que el todo): la autosimilitud exacta (el fractal resulta idéntico a cualquier escala), la cuasiautosimilitud (con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas) y la autosimilitud estadística (el fractal debe tener medidas numéricas o estadísticas que se conserven con el cambio de escala).

Las técnicas fractales se utilizan, por ejemplo, para la comprensión de datos. A través del teorema del collage, es posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que incluye las transformaciones que lleva una figura completa en cada una de sus partes autosemejantes. Al quedar la información codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.