En su obra se encuentran interesantes contribuciones a las ecuaciones bicuadradas, a la teoría de los números y al paso progresivo del álgebra geométrica a la geometría analítica.

Rafael Bombelli.

Rafael Bombelli nació en enero de 1526 en Bolonia (Italia). Era uno de los seis hijos de Antonio Mazzoli que cambió su apellido por el de Bombelli. La familia Mazzoli era una noble y rica familia a la que le habían sido confiscadas todas sus propiedades, debido al apoyo que había dado a la familia Bentivoglio en sus disputas con el Papa Julio II. Fue Antonio, padre de Rafael, el que logró recuperar sus propiedades y pudo volver a Bolonia.

Rafael Bombelli no recibió una educación universitaria, sino que adquirió su formación con el ingeniero y arquitecto Pier Francesco Clementi. El propio Bombelli eligió la profesión de ingeniero y arquitecto, trabajando para Rufini, un noble romano que llegaría a obispo de Melfi. No se sabe exactamente como adquirió Bombelli su interés por las matemáticas, probablemente el motivo fue que vivía en la región de Italia donde se desarrollaban los desafíos matemáticos entre Cardano , Tartaglia y otros , con el fin de resolver ecuaciones.

Su patrón Alejandro Rufini le encargó un proyecto para desecar las marismas del valle de Chiana. Aunque este trabajo no llegó a terminarse, Bombelli con su proyecto adquirió una gran reputación en ingeniería hidráulica. En 1561 Bombelli va a Roma a reparar el puente de Santa María sobre el Tíber. A pesar del fracaso del puente su fama como ingeniero no sufrió ninguna merma.

En una de sus visitas a Roma , Bombelli hizo una gran descubrimiento matemático. Antonio María Pazzi, profesor de matemáticas en la universidad de Roma, le enseñó a Bombelli un manuscrito de la Aritmética de Diofanto y los dos decidieron hacer conjuntamente una traducción del mismo. A pesar de que nunca llegaron a completar la traducción, Bombelli, a la luz del texto de Diofanto comenzó a revisar sus conocimientos de álgebra. De hecho, en su libro III, 143 de los 272 problemas que aparecen son originales de Diofanto, hecho que el propio Bombelli reconocía.

La obra de Bombelli titulada "Álgebra" está dividida en cinco libros. Los tres primeros fueron publicados en 1572, y anunciaba que los libros IV y V , dedicados a la geometría, aparecerían seguidamente. Desgraciadamente Bombelli nunca llegó a publicar estos volúmenes porque la muerte se lo impidió. Murió en 1573, probablemente en Roma. En 1923, un manuscrito de Bombelli fue descubierto en una biblioteca de Bolonia. Además de una versión manuscrita de los tres libros ya publicados, había un manuscrito inconcluso de los otros dos libros. La geometría incompleta de Bombelli fue publicada en 1929, y en ella se aprecia una influencia de los procedimientos geométricos de Omar Khayyam.

En el Álgebra de Bombelli se dan las reglas de los signos, que aún hoy dan tantos problemas a los estudiantes, para operar con números positivos y negativos. Además fue el primero que escribió las reglas para la suma, resta y multiplicación de los números complejos. Además demostró que usando el cálculo de los números complejos podían resolverse ecuaciones. Bombelli usó una notación muy sofisticada para su tiempo. Es justo reconocer a Bombelli como el inventor de los números complejos y su Algebra tuvo una influencia capital en Leibniz.

Bombelli, un ingeniero, hizo un uso práctico de los números complejos porque dichos números le daban resultados útiles. El Álgebra de Bombelli es uno de los más importantes trabajos matemáticos del siglo XVI, y fue el único que dio importancia a los números complejos cuándo aún nadie se la daba.

El caso irreducible y los números complejos:

Hemos visto que cuando aplicamos las reglas de Tartaglia, aparecían por parejas raíces cuadradas de radicandos negativos sin interpretación real, no obstante esta dificultad la salvará, para casos particulares, otro matemático italiano del siglo; Rafael Bombelli, con su álgebra de 1572. Esta obra es la última de los algebristas italianos del siglo XVI y es importante no sólo por las innovaciones, algunas patentes y otras latentes, sino también porque mide el progreso que se va realizando en el proceso de resolución del imperialismo geométrico de la ciencia griega, reflejado en la absorción de la geometría por el álgebra, que en cierto momento sera casi total.

La novedad más importante que introduce Bombelli en su álgebra es el tratamiento de los números complejos y de sus operaciones. Mientras que en su manuscrito aparecen los números imaginarios como raíces cuadradas de números negativos, en el texto, de mas de veinte años después, utiliza un simbolismo en el libro impreso: " he encontrado otra especie de raíces ligadas ( se refiere a las raíces cubicas de irracionales cuadráticos) que se presentan en la ecuación de cubo igual a tantos y números (despues de haber leido a Diofanto, Bombelli utiliza la expresión "tantos" en lugar de "cosas"), cuando el cubo de la tercera parte de los tantos es mayor que el cuadrado de la mitad del numero (es nuestro caso irreducible) y esas especie de raíz cuadrada tiene en el algoritmo otro nombre y otras operaciones. Como en este caso esa parte no puede llamarse ni mas ni menos, la llamaré más de menos cuando deba agregarse y menos de menos cuando ha de restarse...que ha muchas personas ha de parecer más sofístico que real, como supuse yo también hasta que encontré su demostración geométrica..." Expone luego correctamente las operaciones con los símbolos p d m y m d m .

Es claro entonces que su mayor contribución a la teoría de ecuaciones será la resolución, mediante su algoritmo como intermediario, del caso irreducible de la ecuación cúbica.